Все формулы по теории вероятности шпора

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом
.

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом
.

Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е.
.
Вероятность невозможного события равна 0, т.е.
.
Вероятность достоверного события равна 1, т.e.
.
Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е.
.

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется
равновероятных элементарных исходов, и произвольные
из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле
. Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов
, прямо в условии написано число всех исходов
.

Ответ получаем по формуле
.

На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть
, где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е.
.

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е.
.

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае
.

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов
В нашем случае
.

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение
.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

В нашем случае
.

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину:
. В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из
элементов по
элементам:

В нашем случае
.

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий:
.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

студентам и школьникам

Ветеринария
Военные дисциплины
Дизайн
Приборостроение
Гидравлика и пневматика
Лёгкая промышленность
Транспорт
Туризм
Химия
Психология
Маркетинг и PR
Философия
Сельское хозяйство
Педагогика
Медицина
Математические дисциплины
Машиностроение и материалообработка
Электротехника и энергетика

Шпаргалки по теории вероятности

Основные понятия теории вероятности.

Теория вероятности есть наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз по-разному.

В природе нет ни одного физического явления, в котором бы не присутствовали элементы случайностей. Факторы, влияющие на случайности, являются случайными и второстепенными.

Под событием в теории вероятности понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Если количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, нужно с каждым событием связать число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число называется вероятностью Р.

Для достоверного события Р=1, для невозможного события Р=0. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если появление одного из них не более возможно, чем другого Непосредственный подсчет вероятности.

Для того, чтобы определить в опыте вероятность непосредственно из условий самого опыта, необходимо, чтобы различные исходы опыта обладали симметрией, и в силу этого были объективно одинаково возможны.

Несколько событий в одном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие 2 из них не могут появляться вместе.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условию симметрии есть основания считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие.

Существуют группы событий, обладающих всеми 3мя свойствами. Такие события называются случаями, и решение такой задачи называется схемой случаев или схемой урн. Классическая формула вероятности решает задачи, попадающие под схему урн.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Случайные величины, которые принимают только отдельные друг от друга значения, называются дискретными.

Случайные величины, всевозможные значения которых заполняют собой некоторый промежуток, называются непрерывными.

Суммой 2х событий А и В называют событие С, состоящее в выполнении или события А, или события В, или 2х одновременно.

Произведением 2х событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении событий А и В.

Классическое определение вероятности.

Если n-общее число элементарных событий и все они равновозможные, то вероятность события А:

где m_A- число исходов, благоприятствующих появлению события А.

Классическая формула вероятности решает задачи, попадающие под схему урн.

Частота или статистическая вероятность.

Частота – отношение числа появлений нужного события к общему числу опытов.

р=0 – для невозможных событий и р=1 для достоверных событий.

Частоту событий называют статистической вероятностью, и про нее говорят, что при увеличении количества опытов частота сходится по вероятности увеличения Р.

Геометрическая вероятность. Задача о встрече.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

Р = Длина l / Длина L.

З а м е ч а н и е 1. Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу (в указанном выше смысле) в область g — часть области G, равна

Р = mes g / mes G.

З а м е ч а н и е 2. В случае классического определения вероятность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю): справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно). В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.

Задача о встрече:

Теоремы сложения вероятностей

Теорема: Вероятность суммы 2х несовместных событий равняется сумме их вероятностей.

Используем схему случаев, из которых m

B , P ( A )=m/n, P( B )= k / n . Поскольку А и В несовместные, то получается, что

1. Если события А1…А n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей = 1. Противоположными называются 2 несовместных события, которые образуют полную группу

2. Сумма вероятностей события и его противоположности равняется 1

3. Вероятность суммы 2х совместных событий А и В равняется сумме их вероятности без учета вероятности их совместного появления.

Теоремы умножения вероятностей

Событие А называется независимым от события B , если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

События А и В называются независимыми тогда, когда Р(АВ) = Р(А)*Р(В)

Вероятность события А, вычисляемая при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью Р(А/В)= P ( AB )/ P ( B ).

Свойства условных вероятностей.

Свойства условных вероятностей аналогичны свойствам безусловных вероятностей.

5. Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) – Если события А и С несовместны

Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) - Р(АC/В) – Если события А и С совместны

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого .

P(AB)=l/n; P(A)=m/n; P(B/A)=l/m; l/n=m/n * l/m => P(AB)=P(A)*P(B/A)

1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А

2. Вероятность произведения 2х независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

P ( AB )= P ( A )* P ( B )

Формула полной вероятности

Формула полной вероятности является следствием теории сложения и умножения. Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с событиями H 1… Hn , образующих полную группу несовместных событий. Эти события называются гипотезами.

Докажем, что вероятность события А будет вычисляться по формуле:

Доказательство: Т.к. гипотезы Hi образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-нибудь из гипотез. Т.к. гипотезы несовместны, то и комбинации будут несовместны, поэтому к ним можно применить теорему сложения:

Имеется полная группа несовместных гипотез H 1… Hn . Вероятность этих гипотез до опыта известна. Произведен опыт, в результате которого произошло событие А.

Условные вероятности гипотез находятся по формуле:

Повторение испытаний. Частная теорема о повторении опыта.

На практике часто прилагаются задачи, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно., причем нас интересует не отдельное, а общее число появлений события А в серии опытов. Предположим, что опыты являются независимыми величинами. Независимые опыты могут проводиться в одинаковых или разных условиях. При одинаковых условиях вероятность события А будет одинаковой и к нему относится частная теорема. Если опыты разные, то к нему относится общая теорема о повторении опытов.

Вероятность появления события А не менее m раз при n опытах вычисляется по формуле:

Вероятность появления события А хотя бы один раз при n опытах

Если событие А в каждом опыте может наступить с вероятностью p, то количество n опытов, которое необходимо произвести для того, чтобы с заданной вероятностью Рзад. можно было утверждать, что данное событие А произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле:

Частная теорема о повторении опытов касается того случая, когда вероятность события А во всех опытах одна и та же.

Общая теорема о повторении опытов. Производящая функция.

Функция распределения случайной величины.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х со своими значениями, каждое из которых является возможным, но не равновозможным: p ( x 1)= p 1 … p ( xn )= pn . Сумма pi =1- критерий сходимости.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, которое связывает между собой значения всякой величины и ее вероятности.

Тема: Шпаргалки по теории вероятностей и математической статистике

Вопросы к экзаменационному зачету:

1. Классификация случайных событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события, непосредственный подсчет вероятности. Примеры.

2. Статистическое определение вероятности события и условия его применимости. Пример.

3. Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Пример.

4. Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями противоположных событий (с выводом). Примеры.

5. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей (с доказательством). Примеры.

6. Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.

7. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры.

8. Локальная теорема Муавра—Лапласа, условия ее применимости. Свойства функции f(x). Пример.

9. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости.

10. Интегральная теорема Муавра—Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа Ф(х) и ее свойства. Пример.

11. Следствия из интегральной теоремы Муавра—Лапласа (с выводом). Примеры.

12. Понятие случайной величины и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Независимые случайные величины. Примеры.

13. Математические операции над дискретными случайными величинами и примеры Построения законов распределения для kХ, Х2 , Х+Y, XY по заданным распределениям независимых случайных величин Х и Y.

14. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.

15. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (с выводом). Примеры.

16. Математическое ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).

17. Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.

18. Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график.

19. Непрерывная случайная величина (НСВ). Вероятность отдельно взятого значения НСВ. Математическое ожидание и дисперсия НСВ.

20. Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.

21. Определение нормального закона распределения. Теоретико-вероятностный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров.

22. Функция распределения нормально распределенной случайной величины и ее выражение через функцию Лапласа.

23. Формулы для определения вероятности: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило трех сигм.

25. Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Примеры. Таблица ее распределения. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения.

26. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин.

28. Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с выводом). Пример.

29. Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события.

30. Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин (с выводом).

31. Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и следствие. Пример.

32. Закон больших чисел. Теорема Бернулли (с доказательством) и ее значение. Пример.

33. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Упрощенный способ их расчета.

34. Генеральная и выборочная совокупности. Принцип образования выборки. Собственно-случайная выборка с повторным и бесповторным отбором членов. Репрезентативная выборка. Основная задача выборочного метода.

35. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.

36. Оценка генеральной доли по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.

37. Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной средней.

38. Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.

39. Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выборки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и систематические).

40. Формула доверительной вероятности при оценке генеральной доли признака. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной доли признака.

41. Формула доверительной вероятности при оценке генеральной средней. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной средней.

42. Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней и доли.

43. Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности.

44. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия.

45. Критерий согласия - Пирсона и схема его применения.

46. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Различия между ними. Основные задачи теории корреляции.

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы

Читайте также: