Основные элементарные функции и их графики шпора

Дата добавления: 2014-04-28 ; просмотров: 21840 ; Нарушение авторских прав

Определение 2. Основными элементарными функциями принято называть степенную, показательную, логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Ниже приведены графики этих функций, которые наглядно характеризуют их основные свойства.

1) Показательная функция y = α x , a>0, a¹ 1;

2) Степенная функция y = x α , α ∈ R .

Графики степенных функций, соответствующих различным показателям степени, представлены на рис. 2

3) Логарифмическая функция y = log_ax, a> 0, a¹ 1;

4) Тригонометрические функцииy = sinx, y = cosx,

y = tgx, y = ctgx

5) Обратные тригонометрические функции

y = arcsinx, D (f) = [-1; 1], E (f) =
;

y = arccos x, D (f ) = [- 1; l], E (f) =
;

y = arctg x, D (f) = R, E (f) =
;

y = arcctg x, D (f) = R, E (f) =

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных величин с помощью конечного числа арифметических операций сложения, вычитания, умножения, деления и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией.

Примерами элементарных функций являются:

у = ax + b–линейная функция a,b∈ R;

у = ax + bx + c– квадратичная функция a, b, с ∈ R;

у =
– целая рациональная функция или многочлен степениn,
;

– дробно‒рациональная функция; частным случаем дробно‒рациональной функции является дробно‒линейная функция
,
.

Примерами неэлементарных функций могут служить

у =sinx =
, у =

Данный методический материал носит справочный характер и относится к широкому кругу тем. В статье приведен обзор графиков основных элементарных функций и рассмотрен важнейший вопрос – как правильно и БЫСТРО построить график. В ходе изучения высшей математики без знания графиков основных элементарных функций придётся тяжело, поэтому очень важно вспомнить, как выглядят графики параболы, гиперболы, синуса, косинуса и т.д., запомнить некоторые значения функций. Также речь пойдет о некоторых свойствах основных функций.

Я не претендую на полноту и научную основательность материалов, упор будет сделан, прежде всего, на практике – тех вещах, с которыми приходится сталкиваться буквально на каждом шагу, в любой теме высшей математики. Графики для чайников? Можно сказать и так.

По многочисленным просьбам читателей кликабельное оглавление:

Кроме того, есть сверхкраткий конспект по теме
– освойте 16 видов графиков, изучив ШЕСТЬ страниц!

Серьёзно, шесть, удивился даже я сам. Данный конспект содержит улучшенную графику и доступен за символическую плaту, демо-версию можно посмотреть здесь. Файл удобно распечатать, чтобы графики всегда были под рукой. Спасибо за поддержку проекта!

И сразу начинаем:

Как правильно построить координатные оси?

На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей.

Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей.

Чертежи бывают двухмерными и трехмерными.

Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат:

3) Задаем масштаб по осям: рисуем ноль и две единички. При выполнении чертежа самый удобный и часто встречающийся масштаб: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева) – по возможности придерживайтесь именно его. Однако время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист – тогда масштаб уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа). Редко, но бывает, что масштаб чертежа приходится уменьшать (или увеличивать) еще больше

Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. В СССР, возможно, это было правдой… Интересно отметить, что если отмерить эти самые сантиметры по горизонтали и вертикали, то результаты (в клетках) будут разными! Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Если честно, в такие моменты начинаешь задумываться о правоте товарища Сталина, который отправлял в лагеря за халтуру на производстве, не говоря уже об отечественном автомобилестроении, падающих самолетах или взрывающихся электростанциях.

Дополнительно: вИдение прямоугольной системы координат глазами аналитической геометрии освещается в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов, подробную информацию о координатных четвертях можно найти во втором параграфе урока Линейные неравенства.

Трехмерный случай

Здесь почти всё так же.

2) Подписываем оси.

. Для чего нужны все эти правила? Правила существуют для того, чтобы их нарушать. Чем я сейчас и займусь. Дело в том, что последующие чертежи статьи будут выполнены мной в Экселе, и, координатные оси будут выглядеть некорректно с точки зрения правильного оформления. Я бы мог начертить все графики от руки, но чертить их на самом деле жуть как неохота Эксель их начертит гораздо точнее.

Графики и основные свойства элементарных функций

График линейной функции

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.

Две точки найдены, выполним чертеж:

Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:

Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.

Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости.

График квадратичной, кубической функции, график многочлена

При изучении пределов функций желательно понимать геометрический смысл предела.

Я не случайно так подробно расписал свойства функции, все вышеперечисленные вещи полезно знать и помнить при построении графиков функций, а также при исследовании графиков функций.

В этом примере мы рассмотрим важный технический вопрос: Как быстро построить параболу? В практических заданиях необходимость начертить параболу возникает очень часто, в частности, при вычислении площади фигуры с помощью определенного интеграла. Поэтому чертеж желательно научиться выполнять быстро, с минимальной потерей времени. Я предлагаю следующий алгоритм построения.

Сначала находим вершину параболы. Для этого берём первую производную и приравниваем ее к нулю:

Если с производными плохо, следует ознакомиться с уроком Как найти производную?

В каком порядке находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

Углублённые знания о кривой можно получить на уроке Гипербола и парабола.

Кубическая парабола

Функции-многочлены 4-й, 6-й и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида:

Он представляет собой одну из ветвей параболы. Выполним чертеж:

То есть, график функции полностью находится в первой координатной четверти.

График гиперболы

Такая прямая (к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции) называется асимптотой.

Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой.

Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков.

Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статье Гипербола и парабола.

График показательной функции

Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью.

График логарифмической функции

Если позабылось, что такое логарифм, пожалуйста, обратитесь к школьным учебникам.

Графики тригонометрических функций

С чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса

Данная линия называется синусоидой.

График косинуса

Поэтому почти все свойства синуса справедливы и для косинуса. За некоторым, но существенным исключением.

Графики тангенса и котангенса

Графики обратных тригонометрических функций

Свойства арккотангенса вы вполне сможете сформулировать самостоятельно. Отмечу, что арккотангенс, как и арккосинус, не является четной или нечетной функцией.

Пожалуй, для начала хватит. К этой странице придется частенько обращаться в ходе изучения самых различных разделов курса высшей математики.

Ну что, смертнички, полетаем? =)

Тогда надеваем парашюты и готовимся к преобразованиям графиков.

(Переход на главную страницу)

Набор функций, которые мы можем построить достаточно невелик. Однако, большинство функций строятся с помощью четырёх арифметических операций и суперпозиций (или, по-другому, комбинаций) основных элементарных функций.

К числу основных элементарных функций относятся:

1. Прямая задаётся уравнением $y=x$ и её график имеет вид:

Ключевые точки: $(0;0), \ (1;1)$

2. Гипербола (или обратная пропорциональность) задаётся уравнением $y=\frac<1>$ и её график имеет вид:

Асимптоты: $x=0, \ y=0$

Ключевые точки: $(-1;1), \ (1;1)$

3. Парабола задаётся уравнением $y=x^2$ и её график имеет вид:

Ключевые точки: $(-1;1), \ (0;0), \ (1;1)$

4. Кубическая парабола задаётся уравнением $y=x^3$ и её график имеет вид:

Ключевые точки: $(-1;-1), \ (0;0), \ (1;1)$

5. Коренная функция задаётся уравнением $y=\sqrt$ и её график имеет вид:

Ключевые точки: $(0;0), \ (1;1), \ (4;2)$

6. Показательная функция задаётся уравнением $y=a^, \ a > 0, \ a \neq 1$ и её график имеет вид:

6*. Экспонента (показательная функция с основанием e) задаётся уравнением $y=e^$ и её график имеет вид:

Ключевые точки: $\left(-1;\frac<1>\right), \ (0;1), \ (1;e)$

7. Логарифмическая функция задаётся уравнением $y=\log_, \ a > 0, \ a \neq 1$ и её график имеет вид:

7*. Десятичный логарифм задаётся уравнением $y=\lg$ и её график имеет вид:

Ключевые точки: $(0,1; -1), \ (0;1), \ (10;1)$

7**. Натуральный логарифм задаётся уравнением $y=\ln$ и её график имеет вид:

Ключевые точки: $\left(\frac<1>; -1\right), \ (0;1), \ (e;1)$

8. Тригонометрические функции задаются уравнением $y=\sin, \ y=\cos, \ y=<\rm tg>, \ y=<\rm ctg>$ и их графики имеют вид:

Синус

Ключевые точки: $(-2\pi; 0), \ \left(-\frac<3\pi><2>; 1\right), \ (-\pi;0), $

$\left(-\frac<\pi><2>; -1\right), \ (0;0), \ \left(\frac<\pi><2>; 1\right), \ (\pi; 0), \ \left(\frac<3\pi><2>; -1\right), \ (2\pi; 0)$

Косинус

Ключевые точки: $(-2\pi; 1), \ \left(-\frac<3\pi><2>; 0\right), \ (-\pi;-1), $

$\left(-\frac<\pi><2>; 0\right), \ (0;1), \ \left(\frac<\pi><2>; 0\right), \ (\pi;-1), \ \left(\frac<3\pi><2>; 0\right), \ (2\pi; 1)$

Тангенс

Асимптоты: $x=\frac<\pi><2>+\pi n, n \in Z$

Ключевые точки: $(-2\pi ;0), \ (-\pi ;0), \ (0;0), \ (\pi ;0), \ (2\pi ;0)$

Котангенс

Асимптоты: $x=\pi n, n \in Z$

Ключевые точки: $\left(-\frac<3\pi><2>; 0\right), \ \left(-\frac<\pi><2>; 0\right), \ \left(\frac<\pi><2>; 0\right), \ \left(\frac<3\pi><2>; 0\right)$

9. Обратные тригонометрические функции задаются уравнением $y=\arcsin, \ y=\arccos, \ y=<\rm arctg>, \ y=<\rm arcctg>$ и её график имеет вид:

Арксинус
Арккосинус
Арктангенс
Арккотангенс

Методические материалы для подготовки к ЕГЭ по математике

Элементарные функции и их графики

Составила учитель математики

Коваленко И.Н.

Выберите книгу со скидкой:

Математика. Сложение и вычитание. Уровень 3 Kumon

350 руб. 472.00 руб.

Математика. Готовлюсь к школе с наклейками

350 руб. 130.00 руб.

Математика. Новый полный справочник школьника для подготовки к ЕГЭ

350 руб. 222.00 руб.

СПЛОШНОЕ УЧЕНИЕ. ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

350 руб. 204.00 руб.

Смешная математика (математика с наклейками)

350 руб. 56.00 руб.

Посчитаем, поиграем (математика с наклейками)

350 руб. 56.00 руб.

Математика до школы (математика с наклейками)

350 руб. 56.00 руб.

МОЯ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ. ПЕРВАЯ МАТЕМАТИКА

350 руб. 35.00 руб.

Все формулы мира: Как математика объясняет законы природы

350 руб. 980.00 руб.

Математика космоса: Как современная наука расшифровывает Вселенную

350 руб. 860.00 руб.

350 руб. 116.00 руб.

Игра случая: математика и мифология совпадения

350 руб. 600.00 руб.

БОЛЕЕ 58 000 КНИГ И ШИРОКИЙ ВЫБОР КАНЦТОВАРОВ! ИНФОЛАВКА

• Все материалы
• Статьи
• Научные работы
• Видеоуроки
• Презентации
• Конспекты
• Тесты
• Рабочие программы
• Другие методич. материалы

• Коваленко Инна НиколаевнаНаписать 3967 04.06.2016

Номер материала: ДБ-110183

• Алгебра
• 11 класс
• Конспекты

Добавляйте авторские материалы и получите призы от Инфоурок

Еженедельный призовой фонд 100 000 Р

04.06.2016 6403

04.06.2016 1016

04.06.2016 357

04.06.2016 383

04.06.2016 332

04.06.2016 252

04.06.2016 442

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Элементарные функции и их графики

Прямая пропорциональность. Линейная функция.

Обратная пропорциональность. Гипербола.

Квадратичная функция. Квадратная парабола.

Степенная функция. Показательная функция.

Логарифмическая функция. Тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциона льны , то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k x ,

где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ).

Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:

A x + B y = C ,

где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A , B , C показаны на рис.9.

Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны , то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k / x ,

где k - постоянная величина.

Основные характеристики и свойства гиперболы:

- функция монотонная ( убывающая ) при x 0 и при x > 0, но не

монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 ( подумайте, почему ? );

- функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;

- нулей функция не имеет.

Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая a > 0, D > 0 .

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

значений: … (ответьте, пожалуйста, на этот вопрос сами !);

- функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины

ведёт себя, как монотонная;

- функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,

Показательная функция. Функция y = a x , где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент x принимает любые действительные значения ; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81 x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y = - 3, y = 3 i и y = - 3 i (проверьте, пожалуйста !). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку ( 0, 1 ). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т. e . функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 a

область значений: y > 0 ;

- функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 a

- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

- нулей функция не имеет.

Логарифмическая функция. Функция y = log _a x , где a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график ( рис.18 ) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Основные характеристики и свойства логарифмической функции:

- это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 a

- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

- у функции есть один ноль: x = 1.

Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x пред ставляется графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется синусоидой.

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

имеющие так называемые интервалы монотонности , внутри которых они

ведут себя, как монотонные функции ( см. графики рис.19 и рис.20 );

Графики функций y = tan x и y = cot x показаны соответственно на рис.21 и рис .22

Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

( y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая );

- каждая функция имеет по одному нулю ( x = 0 у функции y = arcsin x и

x = 1 у функции y = arccos x ).

Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

( y = arctan x – возрастающая функция; y = arccot x – убывающая );

- только функция y = arctan x имеет единственный ноль ( x = 0 );

функция y = arccot x нулей не имеет.