Как называется операция соответствующая связке тогда и только

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.

Пусть через А обозначено высказывание “Тимур поедет летом на море”, а через В – высказывание “Тимур летом отправиться в горы”. Тогда составное высказывание “Тимур летом побывает и на море, и в горах” можно кратко записать как А и В. Здесь “и” – логическая связка, А.В – логические переменные, которые могут принимать только два значения – “истина” или “ложь”.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

1. Логическое отрицание (инверсия)

Операция, выражаемая символом “не” называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием.

Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы “не” к сказуемому или использования оборота речи “неверно, что”.

Обозначение: не А. (Более подробно об обозначениях логических операций смотрите в хранилище файлов)

Нас интересует истинность высказывания, имеющего форму не А. Определяется она по специальной таблице истинности.

Из таблицы истинности следует, что инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.

2. Логическое умножение (конъюнкция)

Операция, выражаемая связкой “и” называется конъюнкцией или логическим умножением.

Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза “и”.

А = Закончились уроки.

В = Дети идут домой.

А * В = “Закончились уроки и дети идут домой”.

Обозначение конъюнкции: A и B, А*В.

Таблица истинности.

Из таблицы истинности следует, что конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.

3. Логическое сложение (дизъюнкция)

Операция, выражаемая связкой “или” называется дизъюнкцией или логическим сложением.

Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза “или”.

Высказывание “10 не делится на 2 или 5 не больше 3” - ложно, а высказывания

“10 делится на 2 или 5 больше 3”,

“10 делится на 2 или 5 не больше 3”

“10 не делится на 2 или 5 больше 3” - истинны.

Обозначение операции: А или В, A+B.

Таблица истинности.

Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.

4. Логическое следование (импликация)

Каким образом импликация связывает два элементарных высказывания?

Пусть даны два высказывания:

А = “данный четырехугольник квадрат”.

В = “около данного четырехугольника можно описать окружность”.

Рассмотрим составное высказывание, которое понимается как “если данный четырехугольник квадрат, то около него можно описать окружность”.

Есть три варианта, когда импликация истинна:

· А истинно и В истинно, то есть данный четырехугольник квадрат, и около него можно описать окружность;

· А ложно и В ложно, то есть данный четырехугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырехугольника);

· А ложно и В ложно, то есть данный четырехугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, то есть данный четырехугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

Таблица истинности:

Из таблицы истинности следует, что импликация высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (когда истинная предпосылка ведет к ложному выводу).

5. Логическое равенство (эквивалентность)

Операция, выражаемая связками “тогда и только тогда”, “необходимо и достаточно”, “…равносильно…”, называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком "двухстороняя стрелка".

“24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3”,

“23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3”

истинны, а высказывания

“24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5”,

“21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3”

Высказывания А и В, образующие составное высказывание эквивалентность могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: “три больше двух” (А), “пингвины живут в Антарктиде” (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания “три не больше двух” (не А), “пингвины не живут в Антарктиде” (не В). Образованные из высказываний А, В составные высказывания А º В и не А º не В истинны, а высказывания А º не В и не А º В - ложны.

Таблица истинности:

Итак, нами рассмотрены пять логических операций:

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

если А то В = не А + В

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

А равносильно В = (не А + В) * (не В + А)

Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Еще возникает необходимость говорить о приоритете выполнения логических операций. Они выполняются в следующем порядке:

· отрицание

· конъюнкция

· дизъюнкция

· импликация

· эквиваленция.

Порядок выполнения логических операций можно изменить, применив круглые скобки.

Выполните задания:

1. Определите, какие из высказываний в следующих парах являются отрицаниями друг друга, а какие нет: