В отличии от обычных волн где горбы
Доктор технических наук А. ГОЛУБЕВ.
Во всех вышеперечисленных областях есть одна общая черта: в них или в отдельных их разделах изучаются волновые процессы, а проще говоря - волны. В наиболее общем смысле волна - это распространение возмущения какой-либо физической величины, характеризующей вещество или поле. Это распространение обычно происходит в какой-то среде - воде, воздухе, твердых телах. И только электромагнитные волны могут распространяться в вакууме. Все, несомненно, видели, как от брошенного в воду камня, "возмутившего" спокойную поверхность воды, расходятся сферические волны. Это пример распространения "одиночного" возмущения. Очень часто возмущение представляет собой колебательный процесс (в частности, периодический) в самых различных формах - качание маятника, колебания струны музыкального инструмента, сжатие и расширение кварцевой пластинки под действием переменного тока, колебания в атомах и молекулах. Волны - распространяющиеся колебания - могут иметь различную природу: волны на воде, звуковые, электромагнитные (в том числе световые) волны. Различие физических механизмов, реализующих волновой процесс, влечет за собой различные способы его математического описания. Но волнам разного происхождения присущи и некоторые общие свойства, для описания которых используют универсальный математический аппарат. А это означает, что можно изучать волновые явления, отвлекаясь от их физической природы.
В теории волн так обычно и делают, рассматривая такие свойства волн, как интерференция, дифракция, дисперсия, рассеяние, отражение и преломление. Но при этом имеет место одно важное обстоятельство: такой единый подход правомерен при условии, что изучаемые волновые процессы различной природы линейны.О том, что под этим понимается, мы поговорим чуть позже, а сейчас лишь заметим, что линейными могут быть только волны с не слишком большой амплитудой. Если же амплитуда волны велика, она становится нелинейной, и это имеет прямое отношение к теме нашей статьи - солитонам.
Поскольку мы все время говорим о волнах, нетрудно догадаться, что солитоны - тоже что-то из области волн. Это действительно так: солитоном называют весьма необычное образование - "уединенную" волну (solitary wave). Механизм ее возникновения долгое время оставался загадкой для исследователей; казалось, что природа этого явления противоречит хорошо известным законам образования и распространения волн. Ясность появилась сравнительно недавно, и сейчас изучают солитоны в кристаллах, магнитных материалах, волоконных световодах, в атмосфере Земли и других планет, в галактиках и даже в живых организмах. Оказалось, что и цунами, и нервные импульсы, и дислокации в кристаллах (нарушения периодичности их решеток) - все это солитоны! Солитон поистине "многолик". Кстати, именно так и называется прекрасная научно-популярная книга А. Филиппова "Многоликий солитон". Ее мы рекомендуем читателю, не боящемуся довольно большого количества математических формул.
Чтобы понять основные идеи, связанные с солитонами, и при этом обойтись практически без математики, придется поговорить в первую очередь об упоминавшейся уже нелинейности и о дисперсии - явлениях, лежащих в основе механизма образования солитонов. Но сначала расскажем о том, как и когда был обнаружен солитон. Он впервые явился человеку в "обличии" уединенной волны на воде.
. Это случилось в 1834 году. Джон Скотт Рассел, шотландский физик и талантливый инженер-изобретатель, получил предложение исследовать возможности навигации паровых судов по каналу, соединяющему Эдинбург и Глазго. В то время перевозки по каналу осуществлялись с помощью небольших барж, которые тащили лошади. Чтобы выяснить, как нужно переоборудовать баржи при замене конной тяги на паровую, Рассел начал вести наблюдения за баржами различной формы, движущимися с разными скоростями. И в ходе этих опытов он неожиданно столкнулся с совершенно необычным явлением. Вот как он описал его в своем "Докладе о волнах":
"Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась. Но масса воды, которую баржа привела в движение, собралась около носа судна в состоянии бешеного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения - округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма. Он продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости. Я последовал за ним верхом, и когда нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью примерно 8-9 миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от фута до полутора футов. Его высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала".
Рассел назвал обнаруженное им явление "уединенной волной трансляции". Однако его сообщение встретили скепсисом признанные авторитеты в области гидродинамики - Джордж Эйри и Джордж Стокс, полагавшие, что волны при движении на большие расстояния не могут сохранять свою форму. Для этого у них были все основания: они исходили из общепринятых в то время уравнений гидродинамики. Признание "уединенной" волны (которая была названа солитоном гораздо позже - в 1965 году) произошло еще при жизни Рассела трудами нескольких математиков, которые показали, что существовать она может, и, кроме того, были повторены и подтверждены опыты Рассела. Но споры вокруг солитона все же долго не прекращались - слишком велик был авторитет Эйри и Стокса.
Окончательную ясность в проблему внесли голландский ученый Дидерик Иоханнес Кортевег и его ученик Густав де Фриз. В 1895 году, через тринадцать лет после смерти Рассела, они нашли точное уравнение, волновые решения которого полностью описывают происходящие процессы. В первом приближении это можно пояснить следующим образом. Волны Кортевега - де Фриза имеют несинусоидальную форму и становятся синусоидальными только в том случае, когда их амплитуда очень мала. При увеличении длины волны они приобретают вид далеко разнесенных друг от друга горбов, а при очень большой длине волны остается один горбик, который и соответствует "уединенной" волне.
Уравнение Кортевега - де Фриза (так называемое КдФ-уравнение) сыграло очень большую роль в наши дни, когда физики поняли его универсальность и возможность приложения к волнам различной природы. Самое замечательное, что оно описывает нелинейные волны, и теперь следует более подробно остановиться на этом понятии.
В теории волн фундаментальное значение имеет волновое уравнение. Не приводя его здесь (для этого требуется знакомство с высшей математикой), отметим лишь, что искомая функция, описывающая волну, и связанные с ней величины содержатся в первой степени. Такие уравнения называются линейными. Волновое уравнение, как и любое другое, имеет решение, то есть математическое выражение, при подстановке которого обращается в тождество. Решением волнового уравнения служит линейная гармоническая (синусоидальная) волна. Подчеркнем еще раз, что термин "линейная" употребляется здесь не в геометрическом смысле (синусоида - не прямая линия), а в смысле использования первой степени величин в волновом уравнении.
Линейные волны подчиняются принципу суперпозиции (сложения). Это означает, что при наложении нескольких линейных волн форма результирующей волны определяется простым сложением исходных волн. Это происходит потому, что каждая волна распространяется в среде независимо от других, между ними нет ни обмена энергией, ни иного взаимодействия, они свободно проходят одна через другую. Иными словами, принцип суперпозиции означает независимость волн, и именно поэтому их можно складывать. При обычных условиях это справедливо для звуковых, световых и радиоволн, а также для волн, которые рассматриваются в квантовой теории. Но для волн в жидкости это не всегда верно: складывать можно лишь волны очень малой амплитуды. Если попытаться сложить волны Кортевега - де Фриза, то мы вообще не получим волну, которая может существовать: уравнения гидродинамики нелинейны.
Здесь важно подчеркнуть, что свойство линейности акустических и электромагнитных волн соблюдается, как было уже отмечено, при обычных условиях, под которыми подразумеваются, прежде всего, небольшие амплитуды волн. Но что значит - "небольшие амплитуды"? Амплитуда звуковых волн определяет громкость звука, световых - интенсивность света, а радиоволн - напряженность электромагнитного поля. Радиовещание, телевидение, телефонная связь, компьютеры, осветительные приборы и многие другие устройства работают в тех самых "обычных условиях", имея дело с разнообразными волнами малой амплитуды. Если же амплитуда резко увеличивается, волны теряют линейность и тогда возникают новые явления. В акустике давно известны ударные волны, распространяющиеся со сверхзвуковой скоростью. Примеры ударных волн - раскаты грома во время грозы, звуки выстрела и взрыва и даже хлопанье кнута: его кончик движется быстрее звука. Нелинейные световые волны получают с помощью мощных импульсных лазеров. Прохождение таких волн через различные среды меняет свойства самих сред; наблюдаются совершенно новые явления, составляющие предмет изучения нелинейной оптики. Например, возникает световая волна, длина которой в два раза меньше, а частота, соответственно, вдвое больше, чем у входящего света (происходит генерация второй гармоники). Если направить на нелинейный кристалл, скажем, мощный лазерный пучок с длиной волны l 1 = 1,06 мкм (инфракрасное излучение, невидимое глазом), то на выходе кристалла возникает кроме инфракрасного зеленый свет с длиной волны l 2 =0,53 мкм.
Если нелинейные звуковые и световые волны образуются только в особых условиях, то гидродинамика нелинейна по самой своей природе. А поскольку гидродинамика проявляет нелинейность уже в самых простых явлениях, почти столетие она развивалась в полной изоляции от "линейной" физики. Никому просто не приходило в голову искать что-либо похожее на "уединенную" волну Рассела в других волновых явлениях. И только когда были разработаны новые области физики - нелинейные акустика, радиофизика и оптика, - исследователи вспомнили о солитоне Рассела и задались вопросом: только ли в воде может наблюдаться подобное явление? Для этого надо было понять общий механизм образования солитона. Условие нелинейности оказалось необходимым, но недостаточным: от среды требовалось еще что-то, чтобы в ней смогла родиться "уединенная" волна. И в результате исследований стало ясно - недостающим условием оказалось наличие дисперсии среды.
Напомним кратко, что это такое. Дисперсией называется зависимость скорости распространения фазы волны (так называемой фазовой скорости) от частоты или, что то же самое, длины волны (см. "Наука и жизнь" № 2, 2000 г.). Несинусоидальную волну любой формы по известной теореме Фурье можно представить совокупностью простых синусоидальных составляющих с различными частотами (длинами волн), амплитудами и начальными фазами. Эти составляющие из-за дисперсии распространяются с различными фазовыми скоростями, что приводит к "размыванию" формы волны при ее распространении. Но солитон, который тоже можно представить как сумму указанных составляющих, как мы уже знаем, при движении свою форму сохраняет. Почему? Вспомним, что солитон - волна нелинейная. И вот тут-то и лежит ключ к раскрытию его "тайны". Оказывается, что солитон возникает тогда, когда эффект нелинейности, делающий "горб" солитона более крутым и стремящийся его опрокинуть, уравновешивается дисперсией, делающей его более пологим и стремящейся его размыть. То есть солитон возникает "на стыке" нелинейности и дисперсии, компенсирующих друг друга.
Поясним это на примере. Предположим, что на поверхности воды образовался горбик, который начал перемещаться. Посмотрим, что будет, если не учитывать дисперсию. Скорость нелинейной волны зависит от амплитуды (у линейных волн такой зависимости нет). Быстрее всех будет двигаться вершина горбика, и в некоторый следующий момент его передний фронт станет круче. Крутизна фронта увеличивается, и с течением времени произойдет "опрокидывание" волны. Подобное опрокидывание волн мы видим, наблюдая прибой на морском берегу. Теперь посмотрим, к чему приводит наличие дисперсии. Первоначальный горбик можно представить суммой синусоидальных составляющих с различными длинами волн. Длинноволновые составляющие бегут с большей скоростью, чем коротковолновые, и, следовательно, уменьшают крутизну переднего фронта, в значительной степени выравнивая его (см. "Наука и жизнь" № 8, 1992 г.). При определенной форме и скорости горбика может наступить полное восстановление первоначальной формы, и тогда образуется солитон.
Одно из удивительных свойств "уединенных" волн состоит в том, что они во многом подобны частицам. Так, при столкновении два солитона не проходят друг через друга, как обычные линейные волны, а как бы отталкиваются друг от друга подобно теннисным мячам.
На воде могут возникать солитоны и другого типа, названные групповыми, так как их форма весьма сходна с группами волн, которые в реальности наблюдаются вместо бесконечной синусоидальной волны и перемещаются с групповой скоростью. Групповой солитон весьма напоминает амплитудно-модулированные электромагнитные волны; его огибающая несинусоидальна, она описывается более сложной функцией - гиперболическим секансом. Скорость такого солитона не зависит от амплитуды, и этим он отличается от КдФ-солитонов. Под огибающей обычно находится не более 14-20 волн. Средняя - самая высокая - волна в группе оказывается, таким образом, в интервале от седьмой до десятой; отсюда известное выражение "девятый вал".
Рамки статьи не позволяют рассмотреть многие другие типы солитонов, например солитоны в твердых кристаллических телах - так называемые дислокации (они напоминают "дырки" в кристаллической решетке и тоже способны перемещаться), родственные им магнитные солитоны в ферромагнетиках (например, в железе), солитоноподобные нервные импульсы в живых организмах и многие другие. Ограничимся рассмотрением оптических солитонов, которые в последнее время привлекли внимание физиков возможностью их использования в весьма перспективных линиях оптической связи.
Оптический солитон - типичный групповой солитон. Его образование можно уяснить на примере одного из нелинейно-оптических эффектов - так называемой самоиндуцированной прозрачности. Этот эффект заключается в том, что среда, поглощающая свет небольшой интенсивности, то есть непрозрачная, внезапно становится прозрачной при прохождении сквозь нее мощного светового импульса. Чтобы понять, почему это происходит, вспомним, чем обусловлено поглощение света в веществе.
Световой квант, взаимодействуя с атомом, отдает ему энергию и переводит на более высокий энергетический уровень, то есть в возбужденное состояние. Фотон при этом исчезает - среда поглощает свет. После того как все атомы среды возбуждаются, поглощение световой энергии прекращается - среда становится прозрачной. Но такое состояние не может длиться долго: фотоны, летящие следом, заставляют атомы возвращаться в исходное состояние, испуская кванты той же частоты. Именно это и происходит, когда через такую среду направляется короткий световой импульс большой мощности соответствующей частоты. Передний фронт импульса перебрасывает атомы на верхний уровень, частично при этом поглощаясь и становясь слабее. Максимум импульса поглощается уже меньше, а задний фронт импульса стимулирует обратный переход с возбужденного уровня на основной. Атом излучает фотон, его энергия возвращается импульсу, который и проходит через среду. При этом форма импульса оказывается соответствующей групповому солитону.
Совсем недавно в одном из американских научных журналов появилась публикация о ведущихся известной фирмой "Белл" (Bell Laboratories, США, штат Нью-Джерси) разработках передачи сигналов на сверхбольшие расстояния по оптическим волоконным световодам с использованием оптических солитонов. При обычной передаче по оптико-волоконным линиям связи сигнал должен подвергаться усилению через каждые 80-100 километров (усилителем может служить сам световод при его накачке светом определенной длины волны). А через каждые 500-600 километров приходится устанавливать ретранслятор, преобразующий оптический сигнал в электрический с сохранением всех его параметров, а затем вновь в оптический для дальнейшей передачи. Без этих мер сигнал на расстоянии, превышающем 500 километров, искажается до неузнаваемости. Стоимость этого оборудования очень высока: передача одного терабита (10 12 бит) информации из Сан-Франциско в Нью-Йорк обходится в 200 миллионов долларов на каждую ретрансляционную станцию.
Использование оптических солитонов, сохраняющих свою форму при распространении, позволяет осуществить полностью оптическую передачу сигнала на расстояния до 5-6 тысяч километров. Однако на пути создания "солитонной линии" имеются существенные трудности, которые удалось преодолеть только в самое последнее время.
Возможность существования солитонов в оптическом волокне предсказал в 1972 году физик-теоретик Акира Хасегава, сотрудник фирмы "Белл". Но в то время еще не было световодов с низкими потерями в тех областях длин волн, где можно наблюдать солитоны.
Оптические солитоны могут распространяться только в световоде с небольшим, но конечным значением дисперсии. Однако оптического волокна, сохраняющего требуемое значение дисперсии во всей спектральной ширине многоканального передатчика, просто не существует. А это делает "обычные" солитоны непригодными для использования в сетях с длинными линиями передачи.
Подходящая солитонная технология создавалась в течение ряда лет под руководством Линна Молленауэра, ведущего специалиста Отдела оптических технологий все той же фирмы "Белл". В основу этой технологии легла разработка оптических волокон с управляемой дисперсией, позволившая создать солитоны, форма импульсов которых может поддерживаться неограниченно долго.
Метод управления состоит в следующем. Величина дисперсии по длине волоконного световода периодически изменяется между отрицательным и положительным значениями. В первой секции световода импульс расширяется и сдвигается в одном направлении. Во второй секции, имеющей дисперсию противоположного знака, происходят сжатие импульса и сдвиг в обратном направлении, в результате чего его форма восстанавливается. При дальнейшем движении импульс опять расширяется, затем входит в следующую зону, компенсирующую действие предыдущей зоны, и так далее - происходит циклический процесс расширений и сжатий. Импульс испытывает пульсацию по ширине с периодом, равным расстоянию между оптическими усилителями обычного световода - от 80 до 100 километров. В результате, по заявлению Молленауэра, сигнал при объеме информации более 1 терабита может пройти без ретрансляции по меньшей мере 5 - 6 тысяч километров со скоростью передачи 10 гигабит в секунду на канал без каких-либо искажений. Подобная технология сверхдальней связи по оптическим линиям уже близка к стадии реализации.
По словам редких очевидцев, сумевших пережить буйство стихии, такие волны нередко возникают при вполне благоприятных погодных условиях, не предвещающих, казалось бы, никакой опасности.
Достоверных фактов о чудовищных волнах, неожиданно возникающих в открытом море, сравнительно немного, но тем не менее они накапливаются и требуют объяснения. Волны-убийцы совершенно не похожи на остальные: они в 3−5 раз превышают по высоте обычные волны, рождающиеся при сильном шторме.
Это не цунами
Эти грандиозные водные валы, высота которых, как это случилось в 1958 году на Аляске, могут превышать 50 метров, возникают обычно в сейсмоактивных зонах — в результате подводных землетрясений и извержений вулканов, оползней, взрывов, резкого изменения метеоусловий. Подобное явление чаще всего встречается в прибрежных районах Японии, у нас на Дальнем Востоке, в США, Канаде, в регионе Австралии и Полинезии, а иногда даже на Карибах и в Средиземноморье. Японские манускрипты ведут хронологию цунами начиная с 684 года.
26 августа 1883 года мощное извержение вулкана Кракатау в Индонезии обрушило на берег волну высотой 45 метров, которая привела к гибели 36 тысяч человек. Энергетика этой катастрофы была равнозначна 500 тысячам атомных бомб типа хиросимской, но большинство разрушений и жертв, как и в случаях с другими цунами, находились на берегу или неподалеку от него. Такие волны обычно быстро затихают в открытом море и не опасны для судов. Волна, возникшая при извержении Кракатау, несколько раз обогнула земной шар, но ее высота не превышала 40 см.
Сегодня цунами становится большой проблемой для стран, расположенных на тихоокеанском побережье. И все же гигантские волны-одиночки — это не цунами. Они никак не связаны с сейсмической активностью. Есть версия, что они могут порождаться упавшими в океан метеоритами. Так, ученые полагают, что примерно 100 000 лет назад на побережье Гавайских островов обрушилась волна 300-метровой высоты, вызванная, видимо, падением крупного метеорита. Но это, к счастью, явление чрезвычайно редкое.
Механика волны
Частицы воды благодаря их большой подвижности легко выходят из состояния равновесия под действием разного рода сил и совершают колебательные движения. Причинами, вызывающими появление волн, могут быть приливообразующие силы Луны и Солнца, ветер, колебания атмосферного давления, подводные землетрясения или деформации дна. Ветровые волны образуются за счет энергии ветра, передаваемой путем непосредственного давления воздушного потока на наветренные склоны гребней и трения о поверхность воды.
Природа образования волн на водной поверхности была хорошо изучена, смоделирована и описана европейскими учеными в первой половине XIX века. Уже тогда было ясно, что при ветре силой более двух баллов (скоростью свыше четырех узлов) потоки воздуха передают морской ряби энергию, вполне достаточную для образования настоящих волн и зыби.
Если ветер не утихает, волнение постепенно усиливается, так как колебательные движения воды получают дополнительную энергию извне. Высота волны при этом зависит не только от скорости ветра, но и от продолжительности его воздействия, а также от глубины и площади открытой воды.
В справочниках и энциклопедиях приведены высоты волн, характерные для разных океанов. Так, энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона сообщает, что самые большие волны встречаются в области западных ветров Индийского океана (11,5 м) и в восточной части Тихого океана (7,5 м). Однажды такие волны наблюдались у Азорских островов (15 м) и в Тихом океане между Новой Зеландией и Южной Америкой (14 м).
Когда волна, приходящая из открытого моря, выклинивается возвышенным дном, возникает прибой или бурун. На западном побережье экваториальной Африки и возле Мадраса в Индии волны прибоя иногда достигают 22 метров в высоту. Некоторые ученые-океанологи отрицают существование громадных волн-убийц в открытом море, считая, что объективная картина искажается в глазах перепуганных очевидцев. Из-за углубления, которое всегда идет перед волной, возникает особый эффект восприятия, усиливающийся еще и тем, что корабль располагается не горизонтально, то есть параллельно подошве волны, а наклонен к ней. В итоге высота волны может сильно преувеличиваться.
Тем не менее постоянно накапливающиеся факты доказывают обратное. Известно, что разные волны могут взаимодействовать, вызывая усиление и ослабление волнения. Наложение двух когерентных волн вызывает волну, высота которой равна сумме высот отдельных волн. Это явление называется интерференцией.
Интерферируя между собой, могут сталкиваться воздушные потоки и морские течения, и тогда их энергия суммируется в виде волн. Вот почему можно встретить суперволны в Гольфстриме, Куросио и других мощных океанских течениях.
Возле пользующегося дурной славой мыса Горн происходит то же самое: быстрые течения сталкиваются с противодействующими ветрами. Однако и механизмы интерференции не могут дать исчерпывающего объяснения причин возникновения волн-великанов.
Одинокие убийцы
В разгадке секретов гигантских волн на помощь океанографам пришли физики и математики. Ефим Пелиновский изучил и описал механизм возникновения уединенных стационарных волн, которые называют солитонами (от solitary wave — уединенная волна). Главная особенность солитонов состоит в том, что эти волны-одиночки не меняют своей формы в процессе распространения, даже при взаимодействии с себе подобными. Такие волны могут распространяться на очень большие расстояния без потери своей энергии. Толща воды в океане устроена весьма непросто. Океан неоднороден по вертикали: там имеются слои разной плотности, в каждом из которых могут возникать и распространяться внутренние волны, достигающие высоты в 100 и более метров. Пелиновский считает, что во внутренних слоях океана тоже существуют солитоны, и активно занимается их исследованием и прогнозом.
Крупномасштабные атмосферные воздействия — циклоны и антициклоны — приводят к повышению или понижению поверхности океана в областях низкого и высокого давления. Эта связь получила название закона обратного барометра. Понижение атмосферного давления только на 1 мм ртутного столба может вызвать повышение уровня океана в этом месте на 13 мм. Если же давление падает на десятки миллиметров, что нередко случается во время тайфунов, то на поверхности океана появляется возвышенность в метры или десятки метров, которая, распространяясь, может породить гигантскую волну. Перепады давления могут привести к возникновению резонансных явлений, которые и служат причиной зарождения огромных волн в океане.
Математическое моделирование морских волн проводится сегодня во многих странах мира, ученые предлагают решения, весьма непохожие друг на друга, по‑разному описывая разные типы гигантских волн.
Конечно же, математические модели создаются не только ради объяснения природы волн. Ученые ставят перед собой вполне конкретную цель — научиться спасать от гибели суда и нефтегазовые сооружения на шельфе. А главное — жизнь людей. В конце 90-х Европейский союз создал проект MaxWave — с целью собрать факты и документально подтвердить существование одиночных громадных волн, а также отслеживать, моделировать и прогнозировать их появление, чтобы информировать моряков об опасности. Подобный проект по мониторингу гигантских волн выполняет в США Управление морских исследований, в котором накапливаются постоянные наблюдения, полученные при помощи авиации, спутников и радаров.
Научные исследования показали, что в среднем одна из 23 волн существенно превосходит другие по своим параметрам. Статистика свидетельствует, что одна уединенная волна, втрое превосходящая по своим параметрам обычную, приходится на 1175 волн, а четырехкратное превышение встречается у одной волны из 300 тысяч нормальных. Однако статистика, к сожалению, не позволяет предсказать появление волны-убийцы.
Последние наблюдения ученых доказывают, что волны-гиганты — не такая уж редкость, и их существование следует учитывать при проектировании судов. В университете Глазго составлен каталог недавних морских катастроф, вызванных волнами-убийцами. Из 60 сверхкрупных судов, затонувших в период с 1969 по 1994 год, 22 грузовых судна длиной более 200 метров стали жертвами гигантских волн. Они проламывали главный грузовой люк и затапливали главный трюм. В этих кораблекрушениях погибло 542 человека. В большой опасности оказываются и нефтяники, так как добыча постепенно перемещается на океанский шельф, а при проектировании нынешних морских платформ и плавучих буровых существование гигантских волн-убийц явно не бралось в расчет.
Солито́н — структурно устойчивая уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде.
Солитоны ведут себя подобно частицам (частицеподобная волна): при взаимодействии друг с другом или с некоторыми другими возмущениями они не разрушаются, а продолжают движение, сохраняя свою структуру неизменной. Это свойство может использоваться для передачи данных на большие расстояния без помех.
Впервые понятие солитона было введено для описания нелинейных волн, взаимодействующих как частицы [4] .
Солитоны бывают различной природы:
- на поверхности жидкости [5] (первые солитоны, обнаруженные в природе [6] ), иногда считают таковыми волны цунами и бор[7]
- ионозвуковые и магнитозвуковые солитоны в плазме [8]
- гравитационные солитоны в слоистой жидкости [9]
- солитоны в виде коротких световых импульсов в активной среде лазера [10]
- можно рассматривать в качестве солитонов нервные импульсы [11]
- солитоны в нелинейно-оптических материалах [12][13]
- солитоны в воздушной среде [14]
Содержание
- 1 Математическая модель
- 1.1 Уравнение Кортевега — де Фриза
- 1.2 Нелинейное уравнение Шрёдингера
- 2 См. также
- 3 Примечания
- 4 Литература
- 5 Ссылки
Математическая модель
Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза:
u t − 6 u u x + u x x x = 0 <\displaystyle u_
Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон:
u ( x , t ) = − 2 ϰ 2 c h 2 ϰ ( x − 4 ϰ 2 t − φ ) <\displaystyle u(x,t)=-<\frac <2\varkappa ^<2>> <\mathrm
где 2 ϰ 2 <\displaystyle 2\varkappa ^<2>>
— амплитуда солитона, φ <\displaystyle \varphi >
— фаза. Эффективная ширина основания солитона равна ϰ − 1 <\displaystyle \varkappa ^<-1>>
. Такой солитон движется со скоростью v = 4 ϰ 2 <\displaystyle v=4\varkappa ^<2>>
. Видно, что солитоны с большой амплитудой оказываются более узкими и движутся быстрее [15] .
В более общем случае можно показать, что существует класс многосолитонных решений, таких что асимптотически при t → ± ∞ <\displaystyle t\to \pm \infty >
решение распадается на несколько удалённых одиночных солитонов, движущихся с попарно различными скоростями. Общее N-солитонное решение можно записать в виде
u ( x , t ) = − 2 d 2 d x 2 ln det A ( x , t ) <\displaystyle u(x,t)=-2<\frac
где матрица A ( x , t ) <\displaystyle A(x,t)>
даётся выражением
A n m = δ n m + β n ϰ n + ϰ m e 8 ϰ n 3 t − ( ϰ n + ϰ m ) x <\displaystyle A_
Здесь β n , n = 1 , … , N <\displaystyle \beta _
и 0,n=1,\dots ,N>"> ϰ n > 0 , n = 1 , … , N <\displaystyle \varkappa _
0,n=1,\dots ,N"/> — произвольные вещественные постоянные.
Замечательным свойством многосолитонных решений является безотражательность: при исследовании соответствующего одномерного уравнения Шрёдингера
− ∂ x 2 ψ ( x ) + u ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) <\displaystyle -\partial _
с потенциалом u ( x ) <\displaystyle u(x)>
, убывающим на бесконечности быстрее чем | x | − 1 − ε <\displaystyle |x|^<-1-\varepsilon >>
, коэффициент отражения равен 0 тогда и только тогда, когда потенциал есть некоторое многосолитонное решение уравнения КдФ в некоторый момент времени t <\displaystyle t>
.
Интерпретация солитонов как некоторых упруго взаимодействующих квазичастиц основана на следующем свойстве решений уравнения КдФ. Пусть при t → − ∞ <\displaystyle t\to -\infty >
решение имеет асимптотический вид N <\displaystyle N>
солитонов, тогда при t → + ∞ <\displaystyle t\to +\infty >
оно также имеет вид N <\displaystyle N>
солитонов с теми же самыми скоростями, но другими фазами, причём многочастичные эффекты взаимодействия полностью отсутствуют. Это означает, что полный сдвиг фазы k <\displaystyle k>
-го солитона равен
Δ φ k = ∑ n ≠ k n = 1 N Δ φ n k <\displaystyle \Delta \varphi _
Пусть n <\displaystyle n>
-ый солитон движется быстрее, чем m <\displaystyle m>
-ый, тогда
Δ φ n + = Δ φ k n = 1 ϰ n ln | ϰ n + ϰ m ϰ n − ϰ m | <\displaystyle \Delta \varphi _
Δ φ k − = Δ φ n k = − 1 ϰ m ln | ϰ n + ϰ m ϰ n − ϰ m | <\displaystyle \Delta \varphi _
то есть фаза более быстрого солитона при парном столкновении увеличивается на величину Δ φ n + <\displaystyle \Delta \varphi _
, а фаза более медленного — уменьшается на Δ φ k − <\displaystyle \Delta \varphi _
, причём полный сдвиг фазы солитона после взаимодействия равен сумме сдвигов фаз от попарного взаимодействия с каждым другим солитоном.
i u t + u x x + ν | u | 2 u = 0 <\displaystyle iu_
при значении параметра 0>"> ν > 0 <\displaystyle \nu >0>
0"/> допустимы уединённые волны в виде:
u ( x , t ) = ( 2 α ν ) c h − 1 ( α ( x − U t ) ) e i ( r x − s t ) , <\displaystyle u\left(x,t\right)=\left(<\sqrt <\frac <2\alpha ><\nu >>>\right)\mathrm
где r , s , α , U <\displaystyle r,s,\alpha ,U>
— некоторые постоянные, связанные соотношениями:
U = 2 r <\displaystyle U=2r>
s = r 2 − α <\displaystyle s=r^<2>-\alpha >
См. также
- Модель Френкеля — Конторовой
- Ионно-звуковые солитоны
- Волновой пакет
- Кинк
- Уравнение синус-Гордона
- Уравнения Дэви–Стюартсона
Примечания
Литература
Ссылки
- Магнон
- Фонон
- Ротон
- Плазмон
- Примесон
- Электрон
- Дырка
- Орбитон
- Флуктуон
- Фазон
- Холон и спинон
- Квазимонополь
- Дроплетон
- Трион
- Поляритон
- Полярон
- Биротон
- Куперовская пара
- Экситон
- Ванье — Мотта
- Френкеля
- Биэкситон
- Солитон
- ФК-солитон
- Солитоны в плазме
- Ионно-звуковые
- Магнитозвуковые
- Ленгмюровские
- Солитон Давыдова
- Фермионы
- Бозоны
- Энионы
- Гипотетические: Плектоны
Что такое wiki.moda Вики является главным информационным ресурсом в интернете. Она открыта для любого пользователя. Вики это библиотека, которая является общественной и многоязычной.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License.
Читайте также:
